Mathesis Universalis, Computability and Proof

Dans un fragment intitulé Elementa Nova Matheseos Universalis (1683 ?), Leibniz écrit que "les mathématiques (...) doivent fournir la méthode par laquelle on peut déterminer exactement ce qui est concevable" ; dans un autre fragment, il considère les mathématiques comme "la science de tout ce qui est concevable". Leibniz considère toutes les disciplines mathématiques comme des branches de la mathématique et conçoit la mathématique comme une science générale des formes applicables non seulement aux grandeurs mais à tout objet qui existe dans notre imagination, c'est-à-dire qui est possible au moins en principe. En tant que science générale des formes, les mathématiques étudient les relations possibles entre "objets quelconques" ("arbitrary objects"). C'est une théorie abstraite des combinaisons et des relations entre objets.
En 1810, le mathématicien et philosophe Bernard Bolzano publia un livret intitulé Contributions to a Better-Grounded Presentation of Mathematics, qui, selon lui, présente un certain lien objectif entre les vérités qui se rapportent à un certain champ homogène d'objets : certaines vérités sont les "raisons" ("Gründe") des autres, et les dernières les "conséquences" ("Folgen") du premier. La relation raison-conséquence semble être la contrepartie de la causalité au niveau d'une relation entre les vraies propositions. La preuve rigoureuse est caractérisée dans ce contexte comme une preuve qui montre la raison de la proposition à prouver. Les exigences imposées aux preuves rigoureuses semblent anticiper les résultats de la normalisation dans la théorie actuelle de la preuve.
Les collaborateurs de Mathesis Universalis, Computability and Proof, experts de premier plan dans les domaines de l'informatique, des mathématiques, de la logique et de la philosophie, montrent l'évolution de ces idées et d'idées connexes explorant des sujets comme la théorie de la preuve, la théorie de la calculabilité, la logique intuitive, le constructivisme et les mathématiques inversées, approfondissant un examen contextuel de la relation entre rigueur mathématique et exigences en simplification.